Mehrfrequenzgesteuerte Synchronisierung von vier Induktormotoren nach der Methode des festen Frequenzverhältnisses in einem Vibrationssystem

Scientific Reports Band 13, Artikelnummer: 2467 (2023) Diesen Artikel zitieren

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In diesem Artikel wird die mehrfrequenzgesteuerte Synchronisierung von vier Induktormotoren durch die Methode des festen Frequenzverhältnisses in einem Vibrationssystem untersucht. Das dynamische Modell der elektromechanischen Kopplung des Schwingsystems wird erstellt. Der Synchronzustand des schwingenden Systems wird mit der Kleinparametermethode ermittelt. Durch die theoretische Ableitung und numerische Simulation kann eine Mehrfrequenz-Selbstsynchronisation von vier Induktionsmotoren im Vibrationssystem nicht realisiert werden. Um den Zweck der Mehrfrequenz-Synchronisationsbewegung zu erreichen, wird die Methode der Mehrfrequenz-gesteuerten Synchronisation vorgeschlagen und eine Fuzzy-PID-Regelungsmethode eingeführt. Die Stabilität des Kontrollsystems wird durch das Lyapunov-Kriterium zertifiziert. Es wird eine Beliebigkeit der vorgeschlagenen Regelungsmethode vorgestellt, die auf das Schwingungssystem angewendet wird. Um die Genauigkeit der Theorie und Simulation zu bestätigen, wird ein Vibrationsprüfstand aufgebaut. Einige Experimente werden durchgeführt, um die Wirksamkeit und die vorgeschlagene kontrollierte Synchronisationsmethode zu validieren.

Mit der Entwicklung der Wirtschaft scheint die Interessenverfolgung in der Industrieproduktion besonders wichtig zu sein. Um dieses Ziel zu erreichen, werden viele entsprechende Technologien vorgestellt. Mittlerweile werden Vibrationsmaschinen als Industriezweig auf ihre Vorteile für die Landwirtschaft untersucht, beispielsweise das Vibrationssieb, der Vibrationsförderer usw.1,2,3,4. Diese Arten von Vibrationsmaschinen werden in der Industrie üblicherweise nach zwei Mustern strukturiert. Eine Art Zwangssynchronisation wird durch Riemen, Zahnräder usw. realisiert. Sie können die gleichen oder unterschiedliche Geschwindigkeiten zwischen Induktormotoren realisieren. Der andere Typ basiert auf der Selbstsynchronisationstheorie, die erstmals von Blekhman5,6 vorgeschlagen wurde. In ihrer Forschung wird das dynamische Modell mit der Multiskalenmethode kombiniert, einer asymptotischen Analysemethode, die auf der Durchschnittsmethode basiert. Durch die Verwendung unterschiedlicher Zeitskalen unterteilen sie die Vibrationsbewegung in zwei Arten von Prozessen, nämlich schnelle und langsame Prozesse. Der schnelle Wert ist relativ zur Motorgeschwindigkeit und der langsame Wert ist relativ zur Phase. Somit realisieren zwei von Induktionsmotoren angetriebene Exzenterrotoren (ERs) die Selbstsynchronisation in entgegengesetzten Richtungen. Offensichtlich können Vibrationsmaschinen durch die Selbstsynchronisationstheorie mit einfacherem Aufbau und geringeren Kosten realisiert werden. Basierend auf den bisherigen Ergebnissen sind viele Forscher auf diesem Gebiet tätig und es erlebt eine rasante Entwicklung. Wen et al.7 analysieren die Merkmale eines Vibrationssystems auf der Grundlage eines dynamischen Modells mit hoher Kopplung. Darüber hinaus leiteten sie mit dem Hamilton-Kriterium Synchron- und Stabilitätsbedingungen des schwingenden Systems ab. Zhao et al.8,9 erstellen das dynamische Modell der elektromechanischen Kopplung und wandeln das Problem der synchronen Bedingung mit der Methode des Mittelwerts kleiner Parameter in die Existenz des Eigenwerts um. Sie realisieren nicht nur die selbstsynchronisierende Bewegung zweier Motoren in entgegengesetzter Richtung, sondern auch in gleicher Richtung. Die oben genannten Untersuchungen werden in einem einzigen starren Körper durchgeführt. Zhang et al.1,10,11,12,13 präsentieren die Theorie der Selbstsynchronisation mit mehreren Motoren (mehr als zwei Motoren). In ihrer Forschung wird das dynamische Modell auf der Grundlage eines starren Körpers erstellt. Mit der Synchronisationsbedingung und den Synchronisationskriterien der Selbstsynchronisation wird die charakteristische Analyse des dynamischen Modells gegeben. Ihre Forschungsergebnisse zeigen, dass die Selbstsynchronisation eines Vibrationssystems mit drei Motoren keine überlagerte Amplitude erreichen kann und dieses Phänomen die Nullunterschiede zwischen drei Motoren nicht berücksichtigt. Die oben genannten Synchronisationsprobleme basieren alle auf der gleichen Frequenz der Motoren. Das Synchronisationsproblem mit unterschiedlicher Frequenz wird von Inoue Junki chi14 vorgestellt. Bei ihrer Arbeit sind vier Motoren symmetrisch auf einem Vibrostand entlang der vertikalen Achse und nicht entlang der horizontalen Achse installiert. Und sie nutzen diese asymmetrische Funktion, um die Mehrfrequenzsynchronisation zu realisieren. Allerdings kann das Motten in Ref.14 nur einen synchronen Zustand mit dem festen dynamischen Modell realisieren. Dieses Ergebnis kann den Bedürfnissen der Industrie nicht gerecht werden.

Die selbstsynchronisierende Bewegung, die die Nulldifferenz zwischen zwei Motoren realisieren kann, sollte die Synchronisierungsbedingung und die Synchronisierungskriterien erfüllen. Und dieses Ergebnis hängt von der dynamischen Eigenschaft des Schwingsystems ab. Um dieses Problem zu lösen, werden Steuerungsmethoden in das Vibrationssystem eingeführt. Kong et al.15,16 führen die Steuerungsstrategie und -methode in die Selbstsynchronisationsbewegung ein und realisieren die kontrollierte Synchronisationsbewegung. In ihrer Forschung werden eine Master-Slave-Steuerungsstrategie und eine adaptive Gleitmodus-Steuerungsmethode vorgestellt, die im dynamischen Modell des Schwingsystems verwendet werden sollen. Mit dieser Methode können die Differenzen von Motoren, die in der Selbstsynchronisation nicht Null sind, schließlich auf Null gebracht werden. Neben der oben genannten Methode verwenden Ishizaki et al.17 die Kreuzkopplungssteuerungsmethode, um die Synchronisierung mit Dual-Servosystemen zu realisieren. Lin et al.18 zielen auf das duale Linearmotorsystem ab und wenden eine intelligente komplementäre Gleitmodus-Steuerungsmethode an, um eine kreuzgekoppelte Synchronisierung zu implementieren. Jia et al.19,20 berücksichtigen unterschiedliche Frequenzen von Motoren bei der Synchronisationsbewegung und schlagen die adaptive Fuzzy-PID-Methode vor und realisieren die mehrfrequenzgesteuerte Synchronisationsbewegung. Tian et al.21 veranschaulichen die schnelle und robuste Schätzung von Positionen und Geschwindigkeiten mithilfe einer Methode verallgemeinerter Modulationsfunktionen. Balthazar et al.22 berichten über die Selbstsynchronisation von vier nicht idealen Erregern. Nanha Djanan et al.23,24 untersuchen die Selbstsynchronisationsbewegung auf einer rechteckigen Platte.

Aus den obigen Abbildungen geht hervor, dass der Zweck der Realisierung der Synchronisationsbewegungen darin besteht, die Amplituden des Schwingsystems basierend auf der dynamischen Eigenschaft zu erhöhen. Und dieses Ergebnis kann umgewandelt werden, um die Nullunterschiede zwischen den Motoren zu realisieren. Allerdings kann die Mehrfrequenzsynchronisation nur mit ganzzahliger Frequenz (2- oder 3-fach) realisiert werden. Um dieses Problem zu lösen, wird eine mehrfrequenzgesteuerte Synchronisierung von vier Induktormotoren durch ein Verfahren mit festem Frequenzverhältnis vorgeschlagen und die Hauptstruktur in diesem Artikel bereitgestellt. Im Abschnitt „Mathematisches Modell und Synchronisationsanalyse“ wird das dynamische Modell des Vibrationssystems mit vier Motoren erstellt. Und dann werden sowohl die Synchronisationsbedingung als auch die Kriterien des Vibrationssystems im kleinsten gemeinsamen Vielfachzyklus mit der Kleinparametermethode ermittelt. Im Abschnitt „Entwurf des Regelsystems“ wird die adaptive Fuzzy-PID-Regelungsmethode in das Schwingsystem basierend auf einer Master-Slave-Regelungsstrategie eingeführt und die Stabilität des Regelsystems durch die Lyapunov-Theorie zertifiziert. Zur besseren Veranschaulichung werden im Abschnitt „Numerische und experimentelle Ergebnisse mit Diskussionen“ einige numerische Simulationen und Experimente dargestellt und die Übereinstimmung zwischen Simulation und Experiment aufgeführt. Im Abschnitt „Schlussfolgerungen“ werden einige Schlussfolgerungen zu diesem Artikel gegeben.

In diesem Abschnitt wird das mathematische Modell des Schwingsystems in Abb. 1 dargestellt, das von unten nach oben erstellt wird. Alle Symbole sind in Tabelle 1 aufgeführt. Ein starrer Rahmen ist mit vier Federn, die symmetrisch entlang der Koordinatenachse verteilt sind, mit dem Fundament verbunden. Vier in zwei Gruppen unterteilte Käfigläufermotoren sind symmetrisch am Rahmen befestigt. Motor 1 und 4 haben als eine Gruppe die gleiche Frequenz und die andere Gruppe besteht aus Motor 2 und 3, deren Frequenz sich von der vorderen Gruppe unterscheidet. Jeder Motor wird mit vier Schrauben durch kreisförmige Löcher im Rahmen montiert.

Mathematische Modell des Schwingsystems.

Wie in Abb. 1 dargestellt, ist o der Mittelpunkt des Rahmens und oi (i = 1, 2, 3, 4) jeweils die Wellenpunkte von vier Induktormotoren. \(oo_{i} = l_{i}\) (i = 1, 2, 3, 4) sind jeweils die Abstände zwischen dem Mittelpunkt des Rahmens o und den Wellenpunkten von vier Induktormotoren oi. m ist die Qualität des Rahmens und der vier Induktormotoren. m0 ist die volle Qualität jedes ERs und mi (i = 1, 2, 3, 4) sind jeweils die tatsächliche Qualität von vier ERs. r ist der Radius von vier Motoren. \(\varphi_{i} (i = 1,2,3,4)\) sind anfängliche Phasenwinkel von Induktormotoren. \(\theta_{i} (i = 1,2,3,4)\) sind Positionswinkel von vier ERs.\(J_{p}\) ist Rotationsträgheit des Rahmens. \(\psi\) ist der Schwingwinkel des schwingenden Systems. Somit kann die Differentialgleichung des Schwingsystems basierend auf der Lagrange-Gleichung ausgedrückt werden als:

wobei \(L = T - V\). L ist die Lagrange-Funktion. T und V sind die kinetische Energie bzw. die potentielle Energie. Q und q repräsentieren jeweils eine verallgemeinerte Kraft und verallgemeinerte Koordinaten. \({\mathbf{Q}} = ( - f_{x} \dot{x}, - f_{y} \dot{y}, - f_{\psi } \dot{\psi },T_{e1} - f_{1} \dot{\varphi }_{1} ,T_{e2} - f_{2} \dot{\varphi }_{2} ,T_{e3} - f_{3} \dot{\varphi }_{3} ,T_{e4} - f_{4} \dot{\varphi }_{4} )^{{\text{T}}}\), \({\mathbf{q}} = ( x,y,\psi ,\varphi_{1} ,\varphi_{2} ,\varphi_{3} ,\varphi_{4} )^{{\text{T}}}\).

In Gl. (2), \({\mathbf{x}}_{i} = \left( \begin{gathered} x \hfill \\ y \hfill \\ \end{gathered} \right) + \left( {\ begin{array}{*{20}c} {\cos \psi } & { - \sin \psi } \\ {\sin \psi } & {\cos \psi } \\ \end{array} } \right )\left( \begin{gathered} l_{i} \cos \theta_{i} + \tau_{i} r\cos \varphi_{i} \hfill \\ l_{i} \sin \theta_{i} + r\sin \varphi_{i} \hfill \\ \end{gathered} \right)\).

Kombinierte Gl. (1) mit Gl. (2) und (3) kann das dynamische Modell der elektromechanischen Kopplung des Schwingsystems erhalten werden.

wobei \(M = m + \sum\nolimits_{i = 1}^{4} {m_{i} }\) die Gesamtmasse des schwingenden Systems ist, \(J = Ml_{e}^{2} \ ungefähr J_{p} + \sum\nolimits_{i = 1}^{4} {m_{i} } (l_{i}^{2} + r^{2} )\) ist die äquivalente Rotationsträgheit des Vibrationssystem. \(l_{e}\) ist der äquivalente Rotationsradius. \(J_{i} = m_{i} r^{2} (i = 1,2,3,4)\) sind jeweils die Rotationsträgheit von vier Motoren. \(f_{x}\), \(f_{y}\) und \(f_{\psi }\) sind jeweils die Dämpfungskoeffizienten des schwingenden Systems in \(x\), \(y\) und \( \psi\) Richtungen, \(f_{\psi } = f_{x} l_{y}^{2} + f_{y} l_{x}^{2}\). \(k_{x}\), \(k_{y}\) und \(k_{\psi }\) sind jeweils die Steifigkeitskoeffizienten des schwingenden Systems in \(x\), \(y\) und \( \psi\) Richtungen, \(f_{\psi } = f_{x} l_{y}^{2} + f_{y} l_{x}^{2}\). \(f_{i} (i = 1,2,3,4)\), \(T_{ei} (i = 1,2,3,4)\) und \(T_{Li} (i = 1,2,3,4)\) sind jeweils Dämpfungskoeffizienten, elektromagnetische Drehmomente und Lastdrehmomente von vier Motoren. Der Artikel TL in Gl. (4) kann als Gleichung abgeleitet werden. (5).

Um das Element Te im dynamischen Modell der elektromechanischen Kopplung zu veranschaulichen, wird das Modell eines Induktormotors angegeben. In diesem Artikel werden die ERs von Käfigläufermotoren angetrieben. Bei dieser Art von Induktormotor werden die inneren Rotorwicklungen kurzgeschlossen. Somit ist \(u_{rd} = u_{rq}\). Wenn sich der Motor in einem stabilen Zustand befindet, ist \(\phi_{rd}\) = konstant und \(\phi_{rq}\) = 0. Gemäß Dokument 25 kann das Modell des Induktormotors als Gleichung ausgedrückt werden. (6).

wobei s und r jeweils für Stator und Rotor stehen. d- und q- repräsentieren die d-Achse und die q-Achse im rotierenden Koordinatensystem. i, u und R repräsentieren Strom, Spannung und Widerstand. Ls und Lr repräsentieren jeweils die Selbstinduktivität des Stators und des Rotors. Lm ist die Gegeninduktivität von Stator und Rotor. Tr ist die Rotorzeitkonstante, \(T_{r} = L_{r} /R_{r}\). Lks ist die Streuinduktivität des Stators, \(L_{ks} = L_{s} - L_{m}^{2} /L_{r}\). Rks ist der äquivalente Widerstand des Stators, \(R_{ks} = R_{s} + L_{m}^{2} R_{r} /L_{r}^{2}\). \({\uptheta }\) stellt den synchronen Flusskopplungswinkel dar, \({\uptheta } = \int {(\omega + \omega_{s} )} dt\). \(\omega\) repräsentiert die mechanische Winkelgeschwindigkeit. \(\omega_{s}\) stellt die synchrone elektrische Winkelgeschwindigkeit dar, \(\omega_{s} = L_{m} i_{sq} /\phi_{rd} T_{r}\).

Um die kontrollierte Synchronisation zu realisieren, wird die Vektorsteuerungsmethode in das Steuerungssystem eingeführt. Und die Rotorflussorientierte Steuerung (RFOC) ist in Abb. 2 dargestellt, um das Steuerungssystem zu veranschaulichen. In Abb. 2 sind Vorzeichen mit „\(*\)“ Anfangswerte und in Gl. (5), \(L_{m}\) und \(\phi_{rd}\) sind vorgegebene Werte. \(i_{sd}\) kann durch die Formel \(i_{sd} = \phi_{rd} /L_{m}\) berechnet werden. Daher hängt das Element Te mit den Rückkopplungswerten \(i_{sq}\) zusammen.

RFOC: Rotorflussorientierte Steuerung.

Um die Stabilitätsanalyse des schwingenden Systems anschaulich darzustellen, sollte zunächst die Darstellung des dynamischen Modells gegeben werden. Bei diesem Modell drehten sich Motor 1 und Motor 4 zunächst in die entgegengesetzte Richtung, wie in Abb. 1 dargestellt. Wenn die beiden Motoren die stabile Selbstsynchronisationsbewegung mit einer Phasendifferenz von Null realisieren, kann der stabile Synchronzustand von Motor 1 und 4 ausgedrückt werden als \(\omega_{1} - \omega_{4} = 0\) und \(\ varphi_{1} - \varphi_{4} = 0\). Dann beenden Motor 2 und Motor 3 die gleiche Selbstsynchronisationsbewegung wie in der obigen Bedingung. Auf die gleiche Weise kann der stabile Synchronzustand von Motor 2 und 3 als \(\omega_{2} - \omega_{3} = 0\) und \(\varphi_{2} - \varphi_{3} =) ausgedrückt werden 0\). Schließlich realisieren Motor 1 und 4 die Mehrfrequenz-Synchronisationsbewegung mit der Methode des festen Frequenzverhältnisses und der stabile Synchronzustand kann als \(p\dot{\varphi }_{1} - q\dot{\varphi }_{2) dargestellt werden }\) = 0 und \(n\varphi_{1} - \varphi_{2}\) = konstant. Wobei p und q Primzahlen sind, p/q = n. Somit können die Drehzahlen von vier Motoren dargestellt werden als

Nimmt man Gl. (7) in Gl. (4) können Reaktionen in drei Richtungen des schwingenden Systems als Gleichung abgeleitet werden. (8).

wobei \(\omega_{x}^{2} = k_{x} /M\), \(\omega_{y}^{2} = k_{y} /M\), \(\omega_{\psi }^{2} = k_{\psi } /J\), \(\zeta_{x} = f_{x} /(2\sqrt {k_{x} M} )\), \(\zeta_{y } = f_{y} /(2\sqrt {k_{y} M} )\(\zeta_{\psi } = f_{\psi } /(2\sqrt {k_{\psi } J} ) \), \(\mu_{xi} = 1 - \omega_{x}^{2} /\omega_{i}^{2}\), \(\mu_{yi} = 1 - \omega_{y} ^{2 } /\omega_{i}^{2}\), \(\mu_{\psi i} = 1 - \omega_{\psi }^{2} /\omega_{i}^{2}\ ), \ (r_{li} = l_{i} /l_{e}\), \(\tan \gamma_{xi} = 2\zeta_{x} \omega_{x} /(\mu_{xi} \ omega_{i } )\), \(\tan \gamma_{yi} = 2\zeta_{y} \omega_{y} /(\mu_{yi} \omega_{i} )\), \(\tan \gamma_{\ psi i} = 2\zeta_{\psi } \omega_{\psi } /(\mu_{\psi i} \omega_{i} )\, \(r_{m} = m_{0} / M\), \(\eta_{i} = m_{i} /m_{0} (i = 1,2,3,4)\).

Mit der Kleinparametermethode wird der Kleinparameter \(\varepsilon\) in Gl. eingeführt. (4). Und dann, Gl. (4) kann in Gl. umgewandelt werden. (9).

wobei \(\omega_{0}\) die durchschnittliche Geschwindigkeit der Motoren in der Selbstsynchronisation ist. Die Berechnungsmethode von \(\overline{T}_{ei} = T_{e0i} - k_{e0i} \overline{\varepsilon }_{i} (i = 1,2,3,4)\) kann sein erhalten aus Lit. 15. Unter der Annahme \(\dot{\varphi }_{1} = (p + \varepsilon_{1} )\omega_{0}\), \(\dot{\varphi }_{2} = (q + \varepsilon_{ 2} )\omega_{0}\), \(\dot{\varphi }_{3} = (q + \varepsilon_{3} )\omega_{0}\), \(\dot{\varphi }_ {4} = (p + \varepsilon_{4} )\omega_{0}\), \(\ddot{\varphi }_{1} { = }\dot{\varepsilon }_{1} \omega_{0 }\), \(\ddot{\varphi }_{2} { = }\dot{\varepsilon }_{2} \omega_{0}\), \(\ddot{\varphi }_{3} { = }\dot{\varepsilon }_{3} \omega_{0}\), \(\ddot{\varphi }_{4} { = }\dot{\varepsilon }_{4} \omega_{0} \) können die durchschnittlichen Lastdrehmomente ausgedrückt werden als:

Die Koeffizienten- und Konstantenelemente sind alle im Online-Anhang A aufgeführt.

Aus dem Online-Anhang A ist ersichtlich, dass der Kopplungseffekt besteht, wenn zwei Induktormotoren die gleiche Frequenz haben (Selbstsynchronisation). Ansonsten besteht keine Kopplungswirkung zwischen zwei Motoren. Da Motor 1 und Motor 4 eine selbstsynchronisierende Bewegung realisieren, kann die durchschnittliche Phasendifferenz ausgedrückt werden als \(\varphi_{1} - \varphi_{4} = 2\alpha_{1}\). Basierend auf derselben Theorie kann die durchschnittliche Phasendifferenz zwischen Motor 2 und Motor 3 als \(\varphi_{2} - \varphi_{3} = 2\alpha_{2}\) ausgedrückt werden. Übernehmen Sie die Elemente Te und TL in Gleichung. (10) und erweitern Sie es bei \(\alpha_{1}\) bzw. \(\alpha_{2}\). Lassen Sie in der Zwischenzeit die Nonliner-Terme höherer Ordnung weg und gehen Sie davon aus, dass \(\varepsilon_{5}\) und \(\varepsilon_{6}\) jeweils die kleine Parameterstörung zweier Gruppen von Induktormotoren sind. Gleichung (11) kann erhalten werden.

wobei \({\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}c}{a^{\prime}_{11}} & 0 & 0 & {a^{\ prime}_{14}}&0&0\\0&{a^{\prime}_{22}}&{a^{\prime}_{23}}&0&0&0\\0& {a^{\prime}_{32 }} &{a^{\prime}_{33}}&0&0&0\{a^{\prime}_{41}}&0&0& {a^{\prime}_{44}} &0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\ \\end{array}} \right)\), \({\mathbf{B}} = \left({\begin{array}{*{20}c}{b^{\prime}_{11} } & 0 & 0 & { b^{\prime}_{14}} & {b^{\prime}_{15}} & 0\\0&{b^{\prime}_{22}}&{ b^{\prime} _{23}}&0&0&{b^{\prime}_{26}}\\0&{b^{\prime}_{32}}&{b^{\prime}_{33 } }&0&0&{b^{\prime}_{36}}\\{b^{\prime}_{41}}&0&0&{b^{\prime}_{44}}& {b^{\prime} _{45}}&0\\{\omega_{0}/2}&0&0&{-\omega_{0}/2}&0&0\\0&{\ omega_{0} /2} & { - \omega_{0} / 2} & 0 & 0 & 0 \\\end{array}} \right)\), \({\dot{\overline{\mathbf{ \item psilon }}}} = \left( {\begin{array }{*{20}c} {\dot{\overline{\itempsilon }}_{1} } & {\dot{\overline{\itempsilon } }_{2} } & {\dot{\overline{\ itempsilon }}_{3} } & {\dot{\overline{\itempsilon }}_{4} } & {\dot{\overline{\itempsilon }}_{5} } & {\dot{\overline{ \varepsilon }}_{6} } \\\end{array} } \right)^{{\text{T}}}\), \( {\overline{\mathbf{\itempsilon}}} = \left ( {\begin{array}{*{20}c} {\overline{\itempsilon}_{1} } & {\overline{\itempsilon}_; {2} } & {\overline{\itempsilon }_{ 3} } & {\overline{\itempsilon }_{4} } & {\overline{\itempsilon }_{5} } & {\overline{\itempsilon }_{6} } \\ \end{array} } \right)^{{\text{T}}}\), \({{\varvec{\uppsylon}}} = \left( {\begin{ array}{*{20}c} {\upsilon_{1 }} & {\upsilon_{2}} & {\upsilon_{3}} & {\upsilon_{4}} & 0 & 0 \\\end{array } } \right)^{{\text{T}} }\). \(a^{\prime}_{ij}\), \(b^{\prime}_{ij}\) und \(\upsilon_{i}(i = 1,2,3,4)\) sind im Online-Anhang B aufgeführt.

Wenn das schwingende System den stabilen Synchronzustand erreicht, sind die kleinen Parameter \(\varepsilon = 0\) und \(\dot{\varepsilon } = 0\). Somit kann der Synchronzustand von vier ERs als Gleichung ausgedrückt werden. (12).

wobei \(T_{eNi} (i = 1,2,3,4)\) jeweils die elektromagnetischen Nenndrehmomente von vier Induktormotoren sind. Aufgrund des stabilen synchronen Zustands kann das Ergebnis \({{\varvec{\upsilon}}} = 0\) erhalten werden. Übernehmen Sie \({{\varvec{\upsilon}}} = 0\) in Gleichung. (12) und dann Gl. (13) erworben werden können.

Wie in Gl. gezeigt. (11), da die Matrix A eine nicht singuläre Matrix ist und die Determinante \(\left| {\mathbf{A}} \right| \ne 0\) ist, ist die Matrix A invertierbar. Dann gilt Gl. (13) kann als Gleichung ausgedrückt werden. (14).

wobei \({\mathbf{D = A}}^{{ - {1}}} {\mathbf{B}}\). Wegen \(\left|{\lambda{\mathbf{I}} - {\mathbf{D}}}\right|{\mathbf{=}}{0}\) kann die charakteristische Gleichung der Matrix sein dargestellt als

wobei \(d_{j} (j = 1,2,3,4,5,6)\) und \(\lambda\) jeweils Koeffizienten und charakteristische Werte der charakteristischen Gleichung sind.

Wenn die charakteristische Gleichung die Bedingung des Hurwitz-Kriteriums erfüllt, ist der Synchronzustand des Schwingsystems stabil. Ansonsten ist es instabil.

In diesem Abschnitt wird das Steuersystem des Vibrationssystems wie in Abb. 3 dargestellt. Die Master-Slave-Steuerstrategie wird in die gesteuerte Struktur eingeführt und die Fuzzy-PID-Methode wird in der Vektorsteuermethode der Induktormotoren verwendet26,27. Motor 1 gilt als Mastermotor des Systems. Motor 2 und 4 gelten beide als Slave-Motoren von Motor 1. In der Zwischenzeit gilt Motor 3 als Slave-Motor von Motor 2.

Rahmendiagramm des Controllingsystems.

Um die Machbarkeit des Controllingsystems zu belegen, soll Abb. 3 dargestellt werden. Zuerst wird \(\omega_{t}\) als Zielgeschwindigkeit angegeben, und dann kann durch die Fuzzy-PID-Methode die Geschwindigkeit von Motor 1 \(\omega_{1}\) mit RFOC 1 ermittelt werden. Es gibt drei Funktionen von \(\omega_{1}\). Eins wird als Istwert an Motor 1 übertragen. Ein anderer wird als Eingangswert an Motor 2 übergeben. Der andere wird verwendet, um \(\varphi_{1}\) durch die Integralmethode zu erhalten. Bei gleicher Frequenz wird das Regelsystem über die Phase verfolgt, während es bei der Methode mit festem Frequenzverhältnis über die Geschwindigkeit verfolgt wird. Somit können die Drehzahlen und Phasen der Motoren 2, 3 und 4 erfasst werden.

Da es in Abb. 3 zwei Verfolgungssituationen gibt, nämlich die Geschwindigkeitsverfolgung und die Phasenverfolgung, sollte die Stabilität des Steuerungssystems separat besprochen werden. In der Geschwindigkeitsverfolgungssituation wird die Geschwindigkeit des Motors als Zustandsvariable \(\omega = \dot{\varphi }\) eingestellt. Nimmt man \(\omega = \dot{\varphi }\) in Gl. (4), also Gl. (4) kann ausgedrückt werden als:

wobei \(K_{Ti} = L_{mi} \phi_{rdi} /L_{ri} (i = 1,2,3,4)\), \(u_{i}\) als Kontrollvariable darstellt \ (i_{qsi}^{ * }\), \(i = 1,2,3,4\). \(W_{i} = - T_{Li} (i = 1,2,3,4)\) repräsentiert die unsicheren Lasten. \(J_{i} (i = 1,2,3,4)\) repräsentiert jeweils die Rotationsträgheit von vier Motoren. Kombiniert man die vorgegebene Zielgeschwindigkeit \(\omega_{t}\) in Abb. 3 mit der tatsächlichen Geschwindigkeit \(\omega\), kann der Geschwindigkeitsfehler des Motors ausgedrückt werden als:

Dann kann der Verfolgungsfehler des Systems als \({\boldsymbol{E}} = [e,\dot{e}]^{{\text{T}}}\) dargestellt werden. Nach Gl. (16) kann das Kontrollgesetz des Systems wie folgt entworfen werden

wobei \({\boldsymbol{K}} = [k_{p} ,k_{i} ]^{{\text{T}}}\). Die Funktion \(\hat{f}(x)\) kann ausgedrückt werden als \(\hat{f}(x|\theta_{f} ) = \theta_{f}^{{\text{T}}} \xi (x)\), der auf dem Gewichtskoeffizienten \(\theta_{f}\) basiert. Somit kann das adaptive Gesetz des Steuerungssystems als Gleichung entworfen werden. (19).

wobei P eine positiv definite Matrix ist. Betrachten wir \(\Omega_{f}\) als konvexe Menge, um sicherzustellen, dass der optimale Gewichtskoeffizient \(\theta_{f}^{ * }\) dazu gehört und der Gewichtskoeffizient \(\theta_{f}\) ist begrenzt. Und dann kann \(\theta_{f}^{*}\) strukturiert werden als

Nimmt man Gl. (18) in Gl. (16) ist die geschlossene Regelkreisgleichung des Regelsystems wie folgt ausgelegt

wobei \({\mathbf{b}} = \left( \begin{gathered} 0 \hfill\\1 \hfill\\end{gathered}\right)\), \({{\varvec{\Lambda} } } = \left({\begin{array}{*{20}c}0&1\\{-k_{p}}&{-k_{i}}\\end{array}}\right) \).

Wie im Abschnitt „Aufbau des elektromechanischen Kopplungssystems“ erläutert, sollten der Geschwindigkeitsfehler und der Phasenfehler berücksichtigt werden, da es sich bei dem Steuersystem um ein Rückkopplungssystem handelt. Somit ist Gl. (21) kann in Gl. umgewandelt werden. (22), was die ungefähre Fehlergleichung mit den Gleichungen ist. (18) und (19).

wobei \(\Gamma = \hat{f}(x|\theta_{f}^{*} ) - f(x)\) der minimale ungefähre Fehler ist.

Um die Minimalwerte von E und \(\theta_{f} - \theta_{f}^{*}\) zu erhalten, wird eine Lyapunov-Funktion wie folgt konstruiert: (23).

wobei \(\zeta\) eine positive reelle Zahl ist. Q wird als positiv definite Matrix eingeführt, um die Stabilität der Lyapunov-Gleichung zu gewährleisten.

Setze \(V_{1} = E^{{\text{T}}}{\mathbf{P}}E/2\), die Ableitung \(\dot{V}_{{1}} = - E ^{{\text{T}}} {\mathbf{Q}}E/2 + (\theta_{f} - \theta_{f}^{*} )^{{\text{T}}} E^ {{\text{T}}} {\mathbf{P}}b\xi(x) + E^{{\text{T}}} {\mathbf{P}}b\Gamma\). Ebenso gilt: \({\mathbf{V}}_{2} = (\theta_{f} - \theta_{f}^{*})^{{\text{T}}}(\theta_{f} - \theta_{f}^{*} )/(2\zeta )\) und dann die Ableitung \({\dot{\mathbf{V}}}_{2} = (\theta_{f} - \ theta_{f}^{*} )^{{\text{T}}} \dot{\theta}_{f} /\zeta\). Basierend auf dem Lyapunov-Kriterium kann die Ableitung der Gleichung ausgedrückt werden als \({\dot{\mathbf{V}}} = {\dot{\mathbf{V}}}_{{1}} + {\dot {\mathbf{V}}}_{{2}}\), bringe \({\mathbf{V}}_{1}\) und \({\mathbf{V}}_{2}\) in \({\mathbf{V}}\) kann abgeleitet werden als \(\dot{V} = - E^{{\text{T}}} {\mathbf{Q}}E/2 + E^ {{\text{T}}} {\mathbf{P}}b\Gamma\). Wenn die Werte von \(\Gamma\), die die Bedingung \({\dot{\mathbf{V}}}\le 0\) erfüllen können, existieren, ist das System stabil.

Mit der oben beschriebenen Methode kann die Stabilitätszertifizierung von Geschwindigkeitsfehlern und Phasenfehlern bei den anderen Motoren erhalten werden.

In diesem Abschnitt werden einige repräsentative numerische Simulationsbeispiele gegeben. Die Ergebnisse zeigen, dass die Multifrequenz-Selbstsynchronisation nicht realisiert werden kann. Die mehrfrequenzgesteuerte Synchronisation kann jedoch durch die Fuzzy-PID-Methode realisiert werden. Und dann werden bei den Experimenten die gleichen Ergebnisse erzielt. Die Parameter in den Simulationen und Experimenten sind in den Tabellen 2 und 3 aufgeführt.

Basierend auf dem Modell von Abb. 1 ist die Frequenz von Motor 1 und 4 auf 30 Hz eingestellt und die Frequenz von Motor 2 und 3 beträgt beide 45 Hz. Die Simulationsergebnisse in Abb. 4a zeigen, dass die Drehzahlen von vier Motoren die angegebenen Drehzahlen erreichen. Aus Abb. 4b geht hervor, dass die Phase zwischen Motor 1 und 4 ungefähr gleich Null ist. Dieses Ergebnis zeigt, dass zwei Motoren, die in entgegengesetzter Richtung mit derselben Frequenz gedreht werden, den stabilen Synchronisationszustand erreichen können. In ähnlicher Weise tendiert auch die Phase zwischen Motor 2 und 3 in Abb. 4c gegen Null. Wenn das System mit der nichtlinearen Theorie \(p\dot{\varphi }_{1} - q\dot{\varphi }_{2}\) = 0 und \(p\varphi_{1} - q\varphi_{2}\) = konstant, kann die Mehrfrequenz-Selbstsynchronisation realisiert werden. Allerdings ist die Phasendifferenz in Abb. 4d eine monotone Kurve und \(p\varphi_{1} - q\varphi_{2} \ne\) konstant. Dieses Ergebnis zeigt, dass die Multifrequenz-Selbstsynchronisation des Vibrationssystems nicht realisiert werden kann. Abbildung 4e, f sind jeweils die Antworten in drei Richtungen. Die Ergebnisse in Abb. 4 stimmen mit dem dynamischen Modell überein.

Mehrfrequenz-Selbstsynchronisation mit vier ERs, \(\alpha_{0} { = }0\), n = 1,5. (a) Geschwindigkeit, (b) Phasenunterschied zwischen Motor 1 und 4, (c) Phasenunterschiede zwischen Motor 2 und 3, (d) Phasenunterschiede zwischen Motor 1 und 2, (e) Reaktion in x- und y-Richtung, ( f) Reaktion in ψ-Richtung.

Mit den obigen Ergebnissen kann die Mehrfrequenz-Selbstsynchronisation nicht realisiert werden. Somit wird die Methode mit festem Frequenzverhältnis in das Vibrationssystem eingeführt. In Abb. 5a sind die Drehzahlen von vier Motoren dargestellt. Die vorgegebene Geschwindigkeit von Motor 1 beträgt 60 rad/s, die Geschwindigkeiten von Motor 2, 3 und 4 erreichen mit der Steuerungsmethode jeweils 90 rad/s, 90 rad/s und 60 rad/s. Abbildung 5b zeigt die Drehmomentbelastung von vier Induktormotoren. Die Werte der Drehmomentbelastungen liegen zwischen −2 und 2, sodass das Phänomen des blockierten Rotors und der Überlastung bei Motoren nicht auftreten kann. Alle Induktormotoren können reibungslos funktionieren. In Abb. 5c ist die Phase zwischen Motor 1 und 4 nahezu gleich Null, was zeigt, dass Motor 1 und 4 den stabilen Synchronzustand erreichen. Abbildung 5d zeigt die Phasendifferenzen zwischen Motor 1 und Motor 2 und 3. Die Phasendifferenzen sind beide gleich Konstanten. Dieses Ergebnis zeigt, dass die kontrollierte Synchronisation mit der Methode des festen Frequenzverhältnisses realisiert wird. Abbildung 5e,f zeigt Antworten in die drei Richtungen. In Abb. 5e drehen sich zwei Gruppen von Motoren beide in die entgegengesetzte Richtung. Dadurch wirken die Kräfte in y-Richtung einander entgegen und die Amplitude in y-Richtung geht nahezu gegen Null, während sich die Amplituden in x-Richtung überlagern. Dieses Ergebnis stimmt mit der vorgeschlagenen dynamischen Theorie überein. In Abb. 5f geht die Reaktion in ψ-Richtung gegen Null. Dieses Phänomen zeigt, dass es im Schwingsystem keinen Schwung gibt. Aus Abb. 5 ist ersichtlich, dass das Vibrationssystem den stabilen Synchronzustand erreicht und die kontrollierte Synchronisierung mit der Methode des festen Frequenzverhältnisses realisiert wird. Um die Beliebigkeit des Parameters n zu gewährleisten, ist in Abb. 6 eine weitere Simulation dargestellt, bei der der Parameter von 1,5 auf 1,2 geändert wird. In Abb. 6 erfüllen die Drehmomentbelastungen von vier Motoren immer noch die Betriebsanforderungen basierend auf den Werten zwischen – 1 und 1. Durch die Geschwindigkeiten und Phasenunterschiede in Abb. 6a, c, d zeigen die Ergebnisse, dass das Schwingsystem die kontrollierte Synchronisation mit dem Parameter n = 1,2 realisieren kann. Obwohl sich die Reaktion der y-Richtung in Abb. 6e aufgrund des unterschiedlichen Parameters n von der Reaktion in Abb. 5 unterscheidet, stimmen die Reaktionen der drei Richtungen immer noch mit dem dynamischen Modell überein. So kann das Vibrationssystem eine stabile kontrollierte Synchronisation realisieren. Dieses Ergebnis zeigt, dass der Parameter nur dann willkürlich ist, wenn die Bedingungen für Drehmomentbelastungen erfüllt sind.

Kontrollierte Synchronisation mit vier ERs, \(\alpha_{0} { = }0\), n = 1,5, \(\eta = 50\%\). (a) Drehzahlen, (b) Lastmomente, (c) Phasendifferenz zwischen Motor 1 und 4, (d) Phasendifferenzen zwischen Motor 1 und Motor 2 und 3, (e) Reaktionen in x- und y-Richtung, (f) Antwort in der ψ-Richtung.

Kontrollierte Synchronisation mit vier ERs, \(\alpha_{0} { = }0\), n = 1,2, \(\eta = 50\%\). (a) Drehzahlen, (b) Lastmomente, (c) Phasendifferenz zwischen Motor 1 und 4, (d) Phasendifferenzen zwischen Motor 1 und Motor 2 und 3, (e) Reaktionen in x- und y-Richtung, (f) Antwort in der ψ-Richtung.

Um die Richtigkeit der vorgeschlagenen Theorie zu bestätigen, sind in Abb. 7 zunächst die wichtigsten Versuchsgeräte aufgeführt. Die Frequenzen der vier Induktormotoren werden von vier Umrichtern vom Typ Siemens MM440 eingestellt. Die SPS (speicherprogrammierbare Steuerung) ist mit den Umrichtern verbunden. Die drei Beschleunigungssensoren werden auf den Vibrationsprüfstand geklebt und mit dem DASP (Datenerfassung und Signalverarbeitung) verbunden, dessen weiterer Port mit einem Computer verbunden ist. Und dann wird das Experiment der Mehrfrequenz-Selbstsynchronisation basierend auf n = 1,2 zum Vergleich mit der Simulation in Abb. 4 dargestellt. Wie in Abb. 8 gezeigt, sind die Frequenzen von vier Motoren jeweils auf 30 Hz, 36 Hz, 36 eingestellt Hz und 30 Hz. Ab (a) sind die Geschwindigkeiten stabil und erreichen den voreingestellten Wert. Obwohl der Unterschied in (b) zwischen −5 und −12 liegt, kann aufgrund des Versuchsfehlers erkannt werden, dass Motor 1 und 4 die selbstsynchronisierende Bewegung realisieren. Ein ähnliches Ergebnis ist in Abbildung (c) dargestellt. Verglichen mit dem Ergebnis in (d) von Abb. 4 zeigt (d) in Abb. 8 das gleiche Ergebnis, dass die Kurve der Phasendifferenz zwischen Motor 1 und 2 ebenfalls monoton ist. Daher kann die Mehrfrequenz-Selbstsynchronisation nicht realisiert werden. Die Reaktionen der drei Richtungen in (e) und (f) stimmen mit dem Simulations- und Theorieergebnis überein. Dieses Experiment zeigt, dass die Multifrequenz-Selbstsynchronisation nicht unabhängig von n realisiert werden kann.

Experimentierausrüstung des Schwingsystems. (a) Der Vibrationsprüfstand, (b) die Datenerfassung und Signalverarbeitung, (c) die Beschleunigungssensoren, (d) der Hall-Magnetschalter, (e) die speicherprogrammierbare Steuerung, (f) die Wandler.

Experiment zur Mehrfrequenz-Selbstsynchronisation mit vier ERs, \(\alpha_{0} { = }0\), n = 1,2, \(\eta = 50\%\). (a) Geschwindigkeiten, (b) Phasendifferenz zwischen Motor 1 und 4, (c) Phasendifferenzen zwischen Motor 2 und 3, (d) Phasendifferenzen zwischen Motor 1 und 2, (e) Reaktion in x-Richtung, (f) Reaktion in y1-Richtung, (g) Reaktion in y2-Richtung.

In Abb. 9 ist der Versuch der kontrollierten Synchronisation anhand des Parameters n = 1,5 dargestellt. Aus Abb. 9a–c geht hervor, dass Motor 1 mit 4 und Motor 2 mit 3 beide die kontrollierte Synchronisierung realisieren. In Abb. 9d tendiert die Phasendifferenz zwischen Motor 1 und 2 zu einer Konstanten, was bestätigt, dass die kontrollierte Synchronisierung realisiert ist. In Abb. 9e ist die Reaktion offensichtlich kleiner als die Reaktion in Abb. 9g, sodass dieses Ergebnis darauf hinweist, dass das Vibrationssystem den stabilen Synchronzustand realisiert. Die Antwortkurve von (e) in Abb. 9 ähnelt der Kurve von (e) in Abb. 5 und dieses experimentelle Ergebnis stimmt mit der Simulation überein.

Experiment zur kontrollierten Synchronisation mit vier ERs, \(\alpha_{0} { = }0\), n = 1,5, \(\eta = 50\%\). (a) Geschwindigkeiten, (b) Phasendifferenz zwischen Motor 1 und 4, (c) Phasendifferenzen zwischen Motor 2 und 3, (d) Phasendifferenzen zwischen Motor 1 und 2, (e) Reaktion in x-Richtung, (f) Reaktion in y1-Richtung, (g) Reaktion in y2-Richtung.

Der Artikel untersucht die multifrequenzgesteuerte Synchronisation von vier Induktormotoren mit der Methode des festen Frequenzverhältnisses auf Basis eines Masse-Feder-Starrkörpers. Durch die Ableitung des dynamischen Modells werden sowohl die Stabilität als auch die Synchronisationsbedingungen des Schwingsystems ermittelt. Dieses Ergebnis zeigt, dass zwar die Selbstsynchronisation mit der gleichen Frequenz realisiert werden kann, die Mehrfrequenz-Selbstsynchronisation des Vibrationssystems jedoch im dynamischen Modell von Abb. 1 nicht realisiert werden kann. Zur Bestätigung der Konsistenz werden einige numerische Simulationen und Experimente durchgeführt des Ergebnisses. Durch die Einführung der vorgeschlagenen Methode mit festem Frequenzverhältnis im Steuerungssystem wird die mehrfrequenzgesteuerte Synchronisation realisiert. Durch die Robustheitsanalyse wird die Stabilität des Steuerungssystems zertifiziert, um die Machbarkeit der Steuerungsmethode zu beleuchten. Die Konformität der Theorie durch die Simulationen und Experimente wird veranschaulicht. Das Ergebnis zeigt, dass die Beliebigkeit des Festfrequenzparameters mit dem vorgeschlagenen Verfahren nur dann erreicht werden kann, wenn die Bedingungen der Drehmomentbelastungen erfüllt werden. Darüber hinaus bietet die multifrequenzgesteuerte Synchronisationsmethode eine neuartige Möglichkeit, das Problem der Multifrequenz-Vibrationssiebe in der Industrie anzugehen.

Die im Rahmen der aktuellen Studie generierten Datensätze sind erst nach Abschluss der Projektfinanzierung in diesem Artikel öffentlich zugänglich, können aber auf begründete Anfrage beim entsprechenden Autor angefordert werden.

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Die Forschung des Autors wird durch das allgemeine Projekt der Liaoning-Bildungsabteilung 2022 (Projekt-Nr. LJKMZ20220602) und die wissenschaftliche Forschungsunterstützung für hochrangige Talente 2021 der Shenyang Ligong-Universität (1010147001001) unterstützt. Die APC wurde von denselben Geldgebern finanziert.

Fakultät für Maschinenbau, Shenyang Ligong University, Shenyang, 110159, China

Lei Jia, Chun Wang und Ziliang Liu

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LJ beendete die Etablierung des dynamischen Modells, führte Experimente durch und verfasste das Hauptmanuskript. CW hat alle Abbildungen und Tabellen erstellt. ZL hat die Simulationen abgeschlossen. Alle Autoren haben das Manuskript überprüft.

Korrespondenz mit Lei Jia.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Jia, L., Wang, C. & Liu, Z. Mehrfrequenzgesteuerte Synchronisierung von vier Induktormotoren durch die Methode des festen Frequenzverhältnisses in einem Vibrationssystem. Sci Rep 13, 2467 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-29603-y

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Eingegangen: 01. November 2022

Angenommen: 07. Februar 2023

Veröffentlicht: 11. Februar 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-29603-y

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